Ελαχιστοποίηση Κόστους σε Συστήματα Ουρών Αναμονής

 

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΤΕΡΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ

Ένας από τους λόγους μελέτη των ουρών αναμονής είναι η βελτίωσή του από πλευράς κόστους ή χρόνου που πάλι μεταφράζεται σε κόστος (δυσαρεστημένος πελάτης, ανεκμετάλλευτα μηχανήματα, κλπ.)

Το συνολικό κόστος λειτουργίας (ΣΚΛ) ανά χρονική μονάδα ορίζεται σαν το άθροισμα του κόστους αναμονής (ΚΑ) και του κόστους εξυπηρέτησης (ΚΕ).
ΣΚΛ = ΚΑ + ΚΕ

Το κόστος αναμονής ΚΑ είναι συνάρτηση του ρυθμού αφίξεων λ και του χρόνου αναμονής στην ουρά Wq. Αν το κόστος αναμονής ανά πελάτη και ανά χρονική μονάδα είναι ΚW, τότε το συνολικό κόστος αναμονής ΚΑ είναι:
ΚΑ = λ·Wq·KW

Το κόστος λειτουργίας της ουράς ΚΕ εξαρτάται από τα έξοδα λειτουργίας (μισθοί, καύσιμα, κλπ.) κάθε μονάδας επεξεργασίας ανά χρονική μονάδα και από τον αριθμό των μονάδων επεξεργασίας.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΘΕΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

(Θα δούμε αναλυτικά τον τρόπο υπολογισμού με τη βοήθεια του παρακάτω παραδείγματος)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Σε ένα εργοτάξιο πραγματοποιείται εκφόρτωση φορτηγών με σάκους τσιμέντου. Έχει υπολογιστεί ότι 2 εργάτες ξεφορτώνουν 1 φορτηγό σε μια ώρα και αν αυξηθούν οι εργάτες μειώνεται ανάλογα και ο χρόνος εκφόρτωσης (π.χ. 4 εργάτες σε ½ ώρα, κλπ.). Στο εργοτάξιο φτάνουν φορτηγά με ρυθμό 3 οχήματα την ώρα. Το κόστος μιας εργατοώρας είναι 10€ και το ωριαίο κόστος αναμονής ενός φορτηγού είναι 50 €. Να υπολογιστούν τα παρακάτω:
Α) Ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός εργατών
Β) Αν το εργοτάξιο χρησιμοποιήσει 12 εργάτες ποια θα είναι τα χαρακτηριστικά αναμονής και εξυπηρέτησης του συστήματος, και, ποιο θα είναι το ωριαίο κόστος λειτουργίας;
Γ) Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός εργατών για οικονομικότερη λειτουργία;

Λύση:
Α) Έχουμε ένα σύστημα Μ/Μ/1 με λ = 3. Η βασική συνθήκη σε ένα τέτοιο σύστημα είναι: μ > λ.

Συμπληρώνουμε λοιπόν τον παρακάτω πίνακα για να βρούμε τον μικρότερο αριθμό εργατών που ικανοποιεί τη συνθήκη.

Αριθμός εργατών	Χρόνος εκφόρτωσης 1 φορτηγού	μ   (φορτηγά/ώρα)
1	2	0.5
2	1	1
3	2/3	1.5
4	½	2
5	2/5	2.5
6	1/3	3 (= λ)
7	2/7	3.5

Ο ελάχιστος αριθμός εργατών ώστε μ > λ  είναι: 7.

Β) Αν ο αριθμός των εργατών είναι 12 τότε προκύπτει ότι το μ = 6.

Από το πίνακα με τα χαρακτηριστικά μεγέθη των ουρών τύπου Μ/Μ/1 προκύπτουν οι παρακάτω τιμές:

	λ = 3, μ = 6
Χρόνος αναμονής φορτηγών  Wq	1/6 ώρας = 10'
Πελάτες (φορτηγά) σε αναμονή  Lq	0.5 φορτηγά
Συνολικός χρόνος στο εργοτάξιο  W	1/3 ώρας = 20'
Συνολικά φορτηγά στο εργοτάξιο  L	1 φορτηγό

Το ωριαίο συνολικό κόστος λειτουργίας δίνεται από το τύπο:
ΣΚΛ  = ΚΑ + ΚΕ   =  λ · Wq· KW + Νεργ · Κεργ/ωρας

Οπότε το ωριαίο συνολικό κόστος λειτουργίας με 12 εργάτες θα είναι:
ΣΚΛ = 3 · 1/6 · 50€ + 12 · 10€ = 145€

Γ) Για να υπολογίσουμε το οικονομικότερο σενάριο εξετάζουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις από τον ελάχιστο αριθμό εργατών (7) και επάνω, επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς του ερωτήματος Β, και, επιλέγουμε αυτήν με το ελάχιστο ΣΚΛ.

Στον επόμενο πίνακα φαίνονται αναλυτικά τα αποτελέσματα των υπολογισμών:

Αρ. Εργατών	μ	Wq	KA	KE	ΣΚΛ
7	3.5	1.714	257.1	70	327.1
8	4	0.75	112.5	80	192.5
9	4.5	0.444	66.7	90	156.7
10	5	0.3	45	100	145
11	5.5	0.218	32.7	110	142.7
12	6	0.166	25	120	145
13	6.5	0.131	19.8	130	149.8

Η ελάχιστη τιμή του ωριαίου συνολικού κόστους λειτουργίας (ΣΚΛ) επιτυγχάνεται όταν έχουμε 11 εργάτες.

<<Προηγ. | ΤΜΗΜΑ | Επόμ.>>

------

Σημείωση: Ο Δικτυακός Τόπος είναι υπό κατασκευή και συνεχή επέκταση και βελτίωση. Η αρχική του μορφή αναπτύχθηκε στα πλαίσια του προγράμματος ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ - "Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών" του Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής του ΤΕΙ Αθήνας.