Ορισμός Βελτιστοποίησης
Θα πρέπει να αποφεύγει κανείς να δίνει ορισμό σε μια τόσο ευρεία επιστημονική δραστηριότητα, και να αφήνει με τον καιρό και την μελέτη και ανάπτυξη του θέματος να σχηματιστεί η πραγματική έννοια και το επιστημονικό περιεχόμενο της βελτιστοποίησης και της ΕΕ.
Πάντως μπορούμε να πούμε πολύ σύντομα και πολύ εισαγωγικά ότι, Βελτιστοποίηση (ή, Επιχειρησιακή Έρευνα) είναι η επινόηση και η εφαρμογή Επιστημονικών Μεθόδων για την επίλυση Επιχειρησιακών Προβλημάτων με σκοπό τον καλύτερο έλεγχο και τον ΒΕΛΤΙΣΤΟ τρόπο λειτουργίας οργανωμένων συστημάτων ή διαδικασιών.
Τα Στάδια της Μεθόδου
Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος όπου πρέπει να ληφθεί η βέλτιστη απόφαση περιλαμβάνει συνήθως τα εξής στάδια:
- Αναγνώριση και περιγραφή του προβλήματος. Δεν αρκεί μόνο η παρατήρηση των συμπτωμάτων, αλλά πρέπει να εντοπιστούν οι αιτίες του προβλήματος. Επίσης πρέπει να εξεταστεί αν συνδέεται με άλλα προβλήματα και πρέπει να καθοριστούν οι στόχοι με αντικειμενικό τρόπο. Είναι το πιο σημαντικό βήμα γιατί οποιοδήποτε λάθος θα οδηγήσει σε αποτυχία τα επόμενα στάδια.
- Καθορισμός των παραμέτρων του προβλήματος. Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τη λύση και πως μπορούμε να τους μεταβάλουμε ώστε να έχουμε εναλλακτικές λύσεις.
- Εντοπισμός των περιορισμών του προβλήματος. Ποιοι είναι οι περιορισμοί ή τα όρια μέσα στα οποία μπορούμε να κινηθούμε.
- Αναζήτηση λύσεων και επιλογή της Βέλτιστης λύσης. Αφού βρεθούν οι εφικτές λύσεις, επιλέγεται η Βέλτιστη λύση, με βάση των αντικειμενικό στόχο που θέσαμε στο βήμα 1.
- Δοκιμή και υλοποίηση-εφαρμογή της Βέλτιστης λύσης. Στο τελευταίο βήμα η προτεινόμενη λύση δοκιμάζεται και αν επιτύχει, εφαρμόζεται στο πραγματικό πρόβλημα. Είναι το πιο δύσκολο βήμα γιατί ακόμη και η τέλεια λύση αν εφαρμοστεί λάθος θα αποτύχει.
Το Μοντέλο του Προβλήματος
Τα τρία πρώτα στάδια συχνά αναφέρονται και σαν μοντελοποίηση του προβλήματος, καθώς από αυτά προκύπτει η επιστημονική διατύπωση του προβλήματος. Το μοντέλο είναι μια εξιδανικευμένη αναπαράσταση του πραγματικού συστήματος. Όσο πιο πιστά αναπαριστάνει τη πραγματικότητα, τόσο πιο σωστή θα είναι και η λύση που θα μας δώσει.
Το μοντέλο του προβλήματος συνήθως αποτελείται από ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τη κατάσταση. Το μαθηματικό μοντέλο ενός προβλήματος περιλαμβάνει:
- Τις μεταβλητές δηλαδή τις ποσότητες που ελέγχουμε και μπορούμε να μεταβάλουμε για να πετύχουμε το στόχο που έχουμε βάλει.
- Τις παραμέτρους δηλαδή όλα τα άλλα δεδομένα που επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος και που συνήθως θεωρούνται σταθερές (ντετερμινιστικά μοντέλα) αλλά μπορεί να υπόκεινται και σε τυχαίες διακυμάνσεις (στοχαστικά μοντέλα). Τέτοια δεδομένα είναι, η τιμή ενός προϊόντος, η ταχύτητα ή ο χρόνος μεταφοράς του, η αναλογία ανάμιξης δυο υλικών, η αξία μιας ανθρωποώρας, κλπ.
- Τους περιορισμούς (ή συνθήκες) στους οποίους πρέπει να υπακούουν οι μεταβλητές και από τους οποίους προκύπτουν οι επιτρεπτές τιμές τους. Συνήθως οι περιορισμοί έχουν τη μορφή ανισοεξισώσεων.
- Τον αντικειμενικό στόχο (ή αντικειμενική συνάρτηση, ΑΣ) που έχουμε βάλει και ο οποίος δεν είναι πάντα μοναδικός αλλά μπορεί να αποτελείται από επί μέρους στόχους που πρέπει να επιτευχθούν. Συνήθως πρόκειται για μια συνάρτηση που πρέπει να πάρει μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.
Φυσικά, τα μοντέλα που θα προκύπτουν από τη μοντελοποίηση δεν είναι πάντοτε μαθηματικά μοντέλα, αλλά μπορεί να είναι εικονικά, όπως η μακέτα ενός οικισμού, αναλογικά, όπως οι στατιστικές καμπύλες και τα λογικά διαγράμματα, ή, και ψηφιακά μοντέλα προσομοίωσης, που απαιτούν Η/Υ για την επίλυσή τους μια και είναι αδύνατο να περιγραφούν με μαθηματικό τρόπο.
Στην περίπτωση όμως του μαθήματος της Βελτιστοποίησης τα προβλήματα είναι τέτοια ώστε να μετατρέπονται εύκολα σε μαθηματικές σχέσεις, ισότητες και ανισότητες, και να λύνονται εύκολα από τους εκπαιδευόμενους με την εφαρμογή των κατάλληλων μεθόδων
Η Επίλυση του Προβλήματος
Αφού επιλεγεί το κατάλληλο μοντέλο και κατασκευαστεί σε μαθηματική (ή άλλη) μορφή, εφαρμόζονται (4ο στάδιο) οι κατάλληλες τεχνικές για να βρεθούν οι δυνατές λύσεις του.
Από τις δυνατές ή εφικτές λύσεις θα προκύψει η Βέλτιστη λύση η οποία θα ικανοποιεί εφ’ ενός τους περιορισμούς και θα πλησιάζει αφ’ ετέρου περισσότερο από όλες τις άλλες στον αντικειμενικό στόχο.
Σε απλές περιπτώσεις και προβλήματα η λύση βρίσκεται εύκολα με την επίλυση απλών μαθηματικών εξισώσεων. Σε δύσκολες και πολύπλοκες όμως περιπτώσεις, η λύση συχνά βρίσκεται με επαναλαμβανόμενη ‘δοκιμή και λάθος’ και με τη χρήση επαναληπτικών τεχνικών και αλγορίθμων που υλοποιούνται μόνο σε Η/Υ (π.χ.: LINDO, QSB+, MSIS, Excel Solver, κλπ.).
Η λύση ενός προβλήματος πρέπει να περιλαμβάνει και την ανάλυση ευαισθησίας. Με αυτήν μελετάται η επίδραση των σημαντικότερων παραμέτρων στη βέλτιστη λύση. Οι παράμετροι που θεωρήθηκαν αρχικά σταθερές μπορεί να μεταβληθούν ελαφρά από εξωτερικές συνθήκες. Αν η βέλτιστη λύση επηρεάζεται σημαντικά από μικρές μεταβολές των παραμέτρων τότε δεν θα είναι ιδιαίτερα επιθυμητή. Σε επιχειρησιακά προβλήματα είναι συχνά προτιμότερη μια σχεδόν βέλτιστη αλλά σταθερή λύση.
Έλεγχος και Εφαρμογή της Λύσης
Στο τελευταίο στάδιο ελέγχεται σαν πρώτο βήμα η αξιοπιστία του μοντέλου και της βέλτιστης λύσης που μας δίνει. Στο βήμα αυτό χρησιμοποιούνται παλαιότερα δεδομένα με γνωστά αποτελέσματα. Αν το μοντέλο μας δώσει τα ίδια αποτελέσματα τότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην εφαρμογή του. Συνήθως τα δεδομένα αυτά έχουν σχέση με το 1ο στάδιο της περιγραφής του προβλήματος.
Η εφαρμογή της λύσης στο πραγματικό πρόβλημα και σε πραγματικό χρόνο είναι το τελευταίο και πιο δύσκολο βήμα, γιατί δεν αρκεί μόνο μια καλή ερευνητική ομάδα, αλλά απαιτείται η συνεργασία και η συγκατάθεση όλων των ενδιαφερομένων ομάδων (κράτος, ιδιοκτήτες, εργαζόμενοι, κλπ.). Ακόμη και η πιο τέλεια λύση αν εφαρμοστεί λάθος θα αποτύχει. Για το λόγο αυτό, το τελευταίο βήμα της εφαρμογής είναι πέρα από τους εκπαιδευτικούς σκοπούς του μαθήματος και δεν θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα.
Πρακτική Εκπαίδευση
Τα προβλήματα που πρέπει να λύσει ο σπουδαστής κατά την εκπαίδευση του σε θέματα βελτιστοποίησης, δεν έχουν την πολυπλοκότητα και τη δυσκολία των πραγματικών προβλημάτων. Συνήθως του δίνεται ένα σαφέστατο πρόβλημα και του ζητείται μόνο η δημιουργία του μοντέλου και η επίλυση του. Επιπλέον, το πρόβλημα είναι ειδικά επιλεγμένο ώστε να βοηθά στη κατανόηση του διδασκόμενου θεωρητικού θέματος.
Τα προβλήματα που δίνονται προϋποθέτουν κάποιες βασικές γνώσεις γυμνασιακού επιπέδου και τη άνετη χρήση ορισμένων εργαλείων. Έτσι, κατά την παρουσίαση και επίλυση των προβλημάτων που θα ακολουθήσουν στα επόμενα κεφάλαια, θα θεωρείται γνωστό στους σπουδαστές ότι αφορά στη γραφική αναπαράσταση γραμμικών εξισώσεων, στη λύση συστημάτων γραμμικών ανισοεξισώσεων. (Ύλη της Γ' Γυμνασίου), σε βασικές έννοιες πιθανοτήτων και πινάκων.
Όσον αφορά τα εργαλεία επίλυσης, ο σπουδαστής θα πρέπει να διαθέτει χάρακα, φύλλα χαρτί καρό (ή μιλιμετρέ) για απεικόνιση γραφικών ή πινάκων και υπολογιστή τσέπης (scientific calculator). Για τη λύση προβλημάτων με τη χρήση Η/Υ και ειδικού λογισμικού θα δοθούν, κατά περίπτωση, οδηγίες από τον διδάσκοντα.
