Λύσεις σε Προβλήματα Παραγωγής

Σαν προβλήματα παραγωγής χαρακτηρίζονται τα προβλήματα που έχουν σχέση με τη παραγωγική δραστηριότητα μιας επιχείρησης. Σε μια δομική επιχείρηση είναι βασικό να βρεθεί ο τρόπος που θα διαθέσει το προσωπικό της ώστε να της αποδίδει το μέγιστο όφελος. Το ίδιο σημαντική είναι και η βέλτιστη επιλογή των παραγόμενων προϊόντων. Στη συνέχεια θα δούμε ένα τυπικό πρόβλημα παραγωγής της δομικής βιομηχανίας.

Το Πρόβλημα Παραγωγής της Εταιρείας «Προκατασκευή ΑΕ»

Μια κατασκευαστική εταιρεία παράγει τρεις τύπους προκατασκευασμένων κατοικιών Α, Β & Γ. Κάθε τύπος χρησιμοποιεί τα ίδια προκατασκευασμένα τεμάχια και υλικά, αλλά σε διαφορετική ποσότητα.

Η έρευνα αγοράς έδειξε ότι τον επόμενο χρόνο θα υπάρχει ζήτηση προκατ. κατοικιών σε τρεις περιοχές: 1) σε ένα σεισμόπληκτο χωριό σε απόσταση 16 χμ, όπου θα χρειαστούν κατοικίες τύπου Α, 2) σε ένα στρατόπεδο σε απόσταση 10 χμ, όπου θα χρειαστούν κατοικίες τύπου Β, και, 3) σε ένα αθλητικό χωριό σε απόσταση 10 χμ, όπου θα χρειαστούν κατοικίες τύπου Γ.

Το προσωπικό και οι δυνατότητες της εταιρείας επαρκούν για:

1. Τη παραγωγή το πολύ 9000 προκατ. τεμαχίων κάθε έτος.
2. Τη μεταφορά 100000 τεμαχιο-χιλιομέτρων κάθε έτος.
3. Τη πραγματοποίηση 4500 εργατο-ημερών για ηλ./μηχ. εγκαταστάσεις και 5400 εργατο-ημερών για αποπεράτωση, κάθε έτος.

Οι απαιτήσεις καθενός τύπου προκατ. κατοικίας (Α, Β & Γ) δίνονται από τον παρακάτω πίνακα:

Τύπος	Απαιτούμενα Τεμάχια	Εργ-Ημερες Ηλ./Μηχ.	Εργ-Ημέρες Αποπεράτωσης	Καθαρό Κέρδος ανά Κατοικία
Α	150	70	90	3000
Β	250	110	130	4700
Γ	300	130	150	5500

Πόσες κατοικίες πρέπει να κατασκευάσει η εταιρεία από κάθε είδος, ώστε να έχει το μεγαλύτερο όφελος;

Το Μοντέλο του Προβλήματος Παραγωγής

Συμβολίζουμε με Χ1, Χ2 και Χ3 το πλήθος των κατοικιών τύπου Α, Β και Γ αντίστοιχα, που θα κατασκευαστούν. Στον υπολογισμό των μεταφορικών λαμβάνουμε υπ’ όψιν τις αποστάσεις σε χιλιόμετρα και τον αριθμό των τεμαχίων που θα σταλούν (χμ × τεμάχια). Σύμφωνα με τα δεδομένα και τον προηγούμενο πίνακα έχουμε τα παρακάτω:

Τύπος Κατοικ.	Πλήθος Κατοικ.	Απαιτούμ. Τεμάχια	Απαιτ. Μεταφ. Τεμάχ-ΧΜ	Εργ-Ημέρ. Ηλ./Μηχ.	Εργ-Ημέρ. Αποπεράτ.	Καθαρό Κέρδος
Α	Χ1	150·Χ1	16χμ·150·Χ1	70·Χ1	90·Χ1	3000·Χ1
Β	Χ2	250·Χ2	10χμ·250·Χ2	110·Χ2	130·Χ2	4700·Χ2
Γ	Χ3	300·Χ3	10χμ·300·Χ3	130·Χ3	150·Χ3	5500·Χ3

Οι περιορισμοί των δυνατοτήτων της εταιρείας είναι αντίστοιχα:

Μέγιστος Αριθμός Τεμαχίων	Μέγ. Μεταφ. Τεμάχ-ΧΜ	Μέγ. Εργ-Ημ Ηλ./Μηχ.	Μέγ. Εργ-Ημ Αποπεράτ.
9000	100000	4500	5400

Επομένως, το μοντέλο του Π.Γ.Π. που θα λύσουμε είναι το:
ΥΤΠ:
     150·Χ1 + 250·Χ2  + 300·Χ3  ≤ 9000
     2400·Χ1 +2500·Χ2 +3000·Χ3 ≤ 100000
     70·Χ1  + 110·Χ2  + 130·Χ3  ≤ 4500
     90·Χ1  + 130·Χ2  + 150·Χ3  ≤ 5400
     Χ1, Χ2, Χ3  ≥ 0
ΑΣ:
     Να μεγιστοποιηθεί το: P = 3000·Χ1 + 4700·Χ2 + 5500·Χ3

Η Επίλυση του Προβλήματος

Το πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο Simplex όπως φαίνεται παρακάτω:

ΑΡΧΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ(απλοποιούμε τα μηδενικά όπου μπορούμε):

     15·Χ1 + 25·Χ2 + 30·Χ3 + S1                            =  900
     24·Χ1 + 25·Χ2 + 30·Χ3        + S2                     = 1000
     7·Χ1 + 11·Χ2 + 13·Χ3               + S3              =  450
     9·Χ1 + 13·Χ2 + 15·Χ3                      + S4       =  540
     -3000·Χ1 -4700·Χ2 -5500·Χ3                     + P  =   0

ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (αρχική βασική λύση με Χi =0 & β.μ. τις Si, P):

β.μ.	Χ1	Χ2	Χ3	S1	S2	S3	S4	P
S1	15	25	30	1	0	0	0	0	900
S2	24	25	30	0	1	0	0	0	1000
S3	7	11	13	0	0	1	0	0	450
S4	9	13	15	0	0	0	1	0	540
P	-3000	-4700	-5500	0	0	0	0	1	0

1η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ της Simplex:
Επιλέγουμε οδηγό στήλη & οδηγό γραμμή:

β.μ.	Χ1	Χ2	Χ3	S1	S2	S3	S4	P
S1	15	25	30	1	0	0	0	0	900	900/30=30
S2	24	25	30	0	1	0	0	0	1000	1000/30
S3	7	11	13	0	0	1	0	0	450	450/13
S4	9	13	15	0	0	0	1	0	540	540/15
P	-3000	-4700	-5500	0	0	0	0	1	0

Κάνουμε ένα (1) το οδηγό στοιχείο και μηδέν (0) τα υπόλοιπα στοιχεία της οδηγού στήλης. Εφόσον η λύση δεν είναι η βέλτιστη επιλέγουμε νέα οδηγό στήλη & οδηγό γραμμή:

β.μ.	Χ1	Χ2	Χ3	S1	S2	S3	S4	P
Χ3	1/2	5/6	1	1/30	0	0	0	0	30	30*2
S2	9	0	0	-1	1	0	0	0	100	100/9
S3	1/2	1/6	0	-13/30	0	1	0	0	60	60*2
S4	3/2	1/2	0	-1/2	0	0	1	0	90	90*2/3
P	-250	-350/3	0	550/3	0	0	0	1	165000

2η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ της Simplex:

β.μ.	Χ1	Χ2	Χ3	S1	S2	S3	S4	P
Χ3	0	5/6	1	4/45	-1/18	0	0	0	220/9	88/3
Χ1	1	0	0	-1/9	1/9	0	0	0	100/9
S3	0	1/6	0	-17/45	-1/18	1	0	0	490/9	980/3
S4	0	1/2	0	-1/3	0	-1/6	1	0	220/3	440/3
P	0	-350/3	0	1450/9	250/9	0	0	1	167778

 

3η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ της Simplex:

β.μ.	Χ1	Χ2	Χ3	S1	S2	S3	S4	P
Χ2	0	1	6/5	8/75	-1/15	0	0	0	88/3
Χ1	1	0	0	-1/9	1/9	0	0	0	100/9
S3	0	0	-1/5	-89/225	-1/10	1	0	0	446/9
S4	0	0	3/5	-29/75	1/30	-1/6	1	0	176/3
P	0	0	140	1562/9	20	0	0	1	171200

Εφόσον δεν υπάρχουν αρνητικές ποσότητες στο Ρ η διαδικασία της Simplex έχει τελειώσει και η λύση:  Χ1 = 100/9, Χ2 = 88/3, Χ3 = 0, με P = 171200, είναι η βέλτιστη λύση.

Έλεγχος και Εφαρμογή της Λύσης

Η παραπάνω λύση με Χ1 = 100/9 = 11.111, και Χ2 = 88/3 = 29.333, είναι μεν η βέλτιστη αλλά δεν είναι απ’ ευθείας εφαρμόσιμη γιατί οι ποσότητες Χi αφορούν ολόκληρες κατοικίες και επομένως θα πρέπει να είναι ακέραιες.

Τα ζεύγη των ακεραίων τιμών των Χi που ικανοποιούν τους περιορισμούς και βρίσκονται πλησιέστερα στις βέλτιστες τιμές είναι τα:

1. Χ1 = 11, Χ2 = 29 με αντίστοιχο όφελος Ρ = 169300
2. Χ1 = 12, Χ2 = 28 με αντίστοιχο όφελος Ρ = 167600
3. Χ1 = 10, Χ2 = 30 με αντίστοιχο όφελος Ρ = 171000

Από τα παραπάνω ζεύγη επιλέγεται το τρίτο το οποίο δίνει και το μεγαλύτερο όφελος. Συνοψίζοντας τη λύση έχουμε:
Χ1 = 10, (Κατοικίες τύπου Α)
Χ2 = 30, (Κατοικίες τύπου Β)
Χ3 = 0,  (Κατοικίες τύπου Γ)
S1 = 20, (Περιθώριο σε Τεμάχια)
S2 = 12, (Περιθώριο σε Μεταφορές)
S3 = 58, (Περιθώριο σε Εργ-ημέρες Ηλ./Μηχ. εργασιών)
S4 = 68, (Περιθώριο σε Εργ-ημέρες εργασιών Αποπεράτωσης)
Ρ  = 171000 (Καθαρό Κέρδος)

Η λύση αυτή, αν και δεν είναι η ιδανική, είναι η καλύτερη από τις εφαρμόσιμες λύσεις για το συγκεκριμένο πρόβλημα παραγωγής της δομικής εταιρείας.

<<Προηγ. | ΤΜΗΜΑ | Επόμ.>>

------

Σημείωση: Ο Δικτυακός Τόπος είναι υπό κατασκευή και συνεχή επέκταση και βελτίωση. Η αρχική του μορφή αναπτύχθηκε στα πλαίσια του προγράμματος ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ - "Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών" του Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής του ΤΕΙ Αθήνας.